Editorial de la
Universidad Tecnológica Nacional
U.T.N. - Argentina
|
|
.
Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional U.T.N. - Argentina |
|
|
CÁLCULO
NUMÉRICO
Facultad Regional General Pacheco Universidad Tecnológica Nacional |
| Edición
electrónica
|
|
Este tutorial
contiene métodos numéricos
comunes para el cálculo aproximado de integrales definidas.
General Pacheco, Junio de 2007
|
|
|
Sin embargo y sin desmerecer un ápice la enorme contribución de cada uno de estos conjuntos al álgebra y al análisis matemático, cotidianamente se trabaja sencillamente con "números". Se los escribe, se los registra, se los guarda en la memoria de una máquina, se opera con ellos, con ellos se obtienen resultados que se interpretan y que se aplican en la solución de problemas concretos. Estos "números" tienen una característica distintiva: sólo contienen "t" dígitos y llevan implícito, por ese motivo, un error. Con estos "números" de "t" dígitos se hacen operaciones y, al hacerlas, sus inseparables errores pueden dar desagradables sorpresas. Estudiar estos "números", sus errores y su forma de propagación es requisito indispensable para iniciar cualquier curso de cálculo numérico. Estas páginas han sido escritas para eso. General Pacheco,
Noviembre de 2007
|
|
|
En matemática esas relaciones se denominan ECUACIONES DIFERENCIALES; resolverlas es encontrar la o las funciones que satisfacen idénticamente esas ecuaciones. Históricamente fueron resueltas las ecuaciones diferenciales cuya solución era posible mediante artificios que permitían encontrar la expresión analítica de la función incógnita buscada. No obstante, la mayoría de las ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos o sistemas de interés para físicos e ingenieros no tienen una solución como aquella que se enseñaba en las aulas. Felizmente existen otros métodos aproximados gráficos y analíticos; este trabajo intenta ser una introducción a este tipo de enfoque para el tratamiento de las ecuaciones diferenciales. Incluyen algunos métodos gráficos notablemente facilitados por la capacidad gráfica de lenguajes algebraicos como el utilizado y métodos numéricos clásicos. La aplicación de estos métodos en el "estado del arte" requiere el uso de un laboratorio de cálculo y simulación, donde se combinen las facilidades gráficas y de cálculo de tal forma que aquellos fenómenos o sistemas puedan ser ensayados y comprendidos en su totalidad, alcanzando la mejor solución posible. General Pacheco, Noviembre de 2007
|
|
|
Paralelamente, métodos numéricos cada vez más eficaces son aplicados por casi todos los pueblos para la solución de sus problemas de división de áreas (agricultura, propiedades), intereses (comercio), balística (defensa, conquista), ciencia (conocimiento), tecnología (saber hacer), etc. El desarrollo de estos métodos de solución de ecuaciones siguió un exponencial, habiéndose llegado a un punto en el cual los leguajes algebraicos disponibles dan las n raíces aproximadas de un polinomio de grado n, reales o complejas, y muy buenas aproximaciones a raíces de ecuaciones trascendentes. Todo intento de enseñanza de Cálculo Numérico debe llevar de la mano al interesado a través de los métodos que perduran y fundamentan los más sofisticados actualmente en uso. El autor agradece al Profesor Néstor Claus, que hace ya mucho tiempo colaboró con él en una edición reducida de estos temas. General Pacheco, 2009
|
|
|
Algunos, como un aporte a lo que necesariamente debe conocer un alumno que se inicia en el estudio del cálculo numérico, otros interesantes desde el punto de vista conceptual pero definitivamente desaconsejables desde el operativo. Especial atención ha sido puesta en los problemas numéricos insitos en la inversión de matrices. Un par de ejemplos con matrices de Hilbert ponen el acento en este tipo de problemas. La idea subyacente es que no se debe tener respeto reverencial por métodos y procedimientos de cálculo, sino que, por el contrario, todos ellos deben ser analizados con espiritu crítico, analizar si cuadran al problema en estudio y, si es posible, proceder a su verificación. No hacerlo así, implica por lo menos para la ingeniería, un riesgo muy grande. General Pacheco, 2010
|
|
|
Entre los primeros, por supuesto, el método de Gauss, sus errores, su corrección, las técnicas de pivoteo para reducirlo, etc.; el método de Gauss Jordan como método en si para resolver SEL y como método para, en otro capítulo, invertir matrices. Luego se presentan los métodos LU, que cuando se resuelve el mismo SEL por segunda vez y sucesivas el número de operaciones cae abruptamente, el método de Cholesky para matrices simétricas definidas positivas, muy comunes en las aplicaciones; los SEL tridiagonales que aparecen al resolver ecuaciones diferenciales por métodos numéricos, cuyas matrices se manejan como vectores, ahorrando memoria y también el llamado método de ortogonalización, apto para matrices mal condicionadas. Entre los segundos, aproximados, se han incluido el método de iteración simple o de Jacobi, el método de Gauss Seidel; una variación de éste denominada de relajamiento; otro para SEL operados por especialistas muy conocedores de los posibles resultados, denominado de aniquilación del resto y, por último, se agrega el método del descenso más rápido. General Pacheco, 2010
|
|
|
General Pacheco, 2011
|
|
|
En aplicaciones de
ciencia e ingeniería resulta necesario
aproximar numéricamente el valor de derivadas de distinto
orden.
En física, una tabla de valores espacio –tiempo dará velocidades aproximadas si, a través de esos valores, se puede aproximar la derivada primera. Algo similar ocurre para calcular aproximadamente la aceleración del movimiento. Estimar el error en una aproximación polinómica de grado n requiere el cálculo aproximado de una derivada de orden n+1. Este cálculo puede ser necesario al comienzo, en el medio o al final de una tabla de valores. Los casos son similares pero su tratamiento es hacia delante en un caso, centrado en el otro y hacia atrás en el último. General Pacheco, 2012
|
|
|
Se presentan en este trabajo
métodos
clásicos de interpolación y aproximación de funciones mediante
polinomios y otro tipo de funciones. Por supuesto, se tratan los
polinomios de interpolación de Lagrange, junto a su error.
Los polinomios de interpolación de Newton Gregory en avance y en
retroceso están presentes como lo están las fórmulas de interpolación
centrales de Gauss, Bessel; Stirling y Everett. Se
destaca el fenómeno de Runge y su corrección mediante valores de
abscisas correspondientes a las raíces de los polinomios de Chebishev.
General Pacheco, 2012
|
|
|
Este capítulo comprende métodos para la
determinación de autovalores y autovectores. El tema
es de significativa importancia en diversas ramas de la ciencia y de la
ingeniería, y en aplicaciones avanzadas de la matemática a problemas de
la ingeniería. Vibraciones, inestabilidad del equilibrio por ejemplo.
Se incluyen métodos que permiten encontrar el polinomio característico de una matriz cuadrada, cuyas raíces son precisamente los autovalores de la matriz. General Pacheco, 2013
|
|
| del mismo
autor Una introducción al concepto de límite (dos mil años en un renglón) |
Volver
a la página principal
